Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=xlnx．
（1）若函数f（x）＜0的解集为（1，3），且f（x）的最小值为-1，求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1，c=2时，若函数φ（x）=f（x）+g（x）有零点，求实数b的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）＜0的解集为（1，3）可知，1，3是方程ax²+bx+c=0的根，则f（x）=a（x-1）（x-3），又由f（x）的最小值为-1可知a＞0且在对称轴x=2上取得最小值，从而解出；
（2）φ（x）=f（x）+g（x）=x²+bx+2+xlnx，（x＞0），函数φ（x）=f（x）+g（x）有零点可化为方程x²+bx+2+xlnx=0有解，则b=

-x2-xlnx-2

x

=-x-lnx-

2

x

，求这个函数的最大值即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）＜0的解集为（1，3），
∴1，3是方程ax²+bx+c=0的根，
∴f（x）=a（x-1）（x-3），
又∵f（x）的最小值为-1，
∴f（2）=-a=-1，
解得，a=1，
则f（x）=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；
（2）由题意，
φ（x）=f（x）+g（x）=x²+bx+2+xlnx，（x＞0），
则函数φ（x）=f（x）+g（x）有零点可化为
方程x²+bx+2+xlnx=0有解，
则b=

-x2-xlnx-2

x

=-x-lnx-

2

x

，
则b′=-1-

1

x

+

2

x2

=

-x2-x+2

x2

=

-(x+2)(x-1)

x2

，
则当x∈（0，1）时，b′＞0，b=-x-lnx-

2

x

在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，b′＜0，b=-x-lnx-

2

x

在（1，+∞）上是减函数，
则b_max=-x-lnx-

2

x

|_x=1=-1-0-2=-3．
即实数b的最大值为-3．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了二次函数的解法与二次函数的特征及方程与函数的转化，属于中档题．