Question

已知不等式|x+4|+|x-m|≤5的解集为{x|-4≤x≤1}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a²+2b²+3c²=m，求a+4b+9c的最值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,二维形式的柯西不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由于|x+4|+|x-m|表示数轴上的x对应点到-4和m对应点的距离之和，而-4、1对应点距离之和正好等于5，由此求得m的解；
（Ⅱ）可令

m

=（1，2

2

，3

3

），

n

=（a，

2

b，

3

c），运用不等式|

m

•

n

|=|

m

|•|

n

|•|cos＜

m

，

n

＞|≤|

m

|•|

n

|，计算即可得到最值．

解答： 解：（Ⅰ）根据绝对值的几何意义可得，
|x+4|+|x-m|表示数轴上的x对应点到-4和m对应点的距离之和，
而-4、1对应点距离之和正好等于5，
∴m=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a²+2b²+3c²=1．
可令

m

=（1，2

2

，3

3

），

n

=（a，

2

b，

3

c），
则

m

•

n

=a+4b+9c，|

m

|=

1+8+27

=6，|

n

|=

a2+2b2+3c2

，
由于|

m

•

n

|=|

m

|•|

n

|•|cos＜

m

，

n

＞|≤|

m

|•|

n

|，
当

m

，

n

共线时，取得等号．
则|a+4b+9c|≤6

a2+2b2+3c2

=6
则有-6≤a+4b+9c≤6，
则a+4b+9c的最小值为-6，最大值为6．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，考查运用向量法求最值，考查运算能力，属于中档题．