Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E为AB的中点，F为CC₁的中点．
（1）证明：BF∥平面ECD₁；
（2）求二面角D₁-EC-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取CD₁中点G，连结FG，由已知推导出四边形FGEB为平行四边形，由此能证明BF∥平面ECD₁．
（2）连结DE，E为AB的中点，DE⊥EC，DD₁⊥EC，由已知得∠DED₁为二面角D₁-EC-D的平面角，由此能求出二面角D₁-EC-D的余弦值．

解答： （1）证明：取CD₁中点G，连结FG．
∵F为CC₁的中点D₁，∴FG=

1

2

C1D1且FG∥C₁D₁，
∵AB=C₁D₁且AB∥C₁D₁，∴FG=

1

2

AB=BE且FG∥BE，
∴四边形FGEB为平行四边形∴BF∥GE，…（4分）
∵GE?平面ECD₁，BF?平面ECD₁，
∴BF∥平面ECD₁．…（7分）
（2）解：连结DE，
∵AD=AA₁=1，AB=2，E为AB的中点，∴DE⊥EC，…（9分）
∵DD₁⊥平面ABCD，∴DD₁⊥EC，
又DD₁∩DE=D，DD₁?平面EDD₁，
DE?平面EDD₁∴CE⊥平面EDD₁，∴CE⊥ED₁，…（11分）
∴∠DED₁为二面角D₁-EC-D的平面角．…（12分）
Rt△ADE中DE=

2

，
∴Rt△D₁DE中，D1E=

3

，
∴cos∠DED1=

DE

D1E

=

6

3

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．