Question

已知F₁、F₂是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1的两个焦点，点P在椭圆上，若△PF₁F₂是直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆方程求得c＜b，从而判断出点P对两个焦点张角的最大值小于90°，可得直角三角形的直角顶点在焦点处，即可求点P的坐标．

解答： 解：设椭圆短轴的一个端点为M，
∵椭圆

x2

9

+

y2

4

=1中，a=3且b=2，∴c=

5

＞b
由此可得∠OMF₁＜45°，得到∠F₁MF₂＜90°，
∴若△PF₁F₂是直角三角形，∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°．
P的横坐标为

5

时，纵坐标为±

4

3

，P的横坐标为-

5

时，纵坐标为±

4

3

，
∴P（

5

，±

4

3

）或P（-

5

，±

4

3

）．

点评：本题给出点P是椭圆上与两个焦点构成直角三角形的点，求点P的坐标．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和三角形的面积计算等知识，属于中档题．