Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1处的切线斜率为2，且导函数f′（x）的图象关于直线x=

1

3

对称．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）的图象与g（x）=x²的图象有且仅有三个公共点，求c的取值范围．

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：本题（1）利用导函数的运算和导数的几何意义可以得到相应参量的方程，解方程得本题结论；（2）本题通过导函数研究出函数图象的特征，根据图象的交点情况得到参数c满足的关系式，求出c的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由已知得

f′(1)=2 - a 3 = 1 3

_，
即 

3+2a+b=2 a=-1

，
解得：

a=-1 b=1

．
（2）由（1）知f(x)=x3-x2+x+

c

，

f(x)-g(x)=x3-2x2+x+c，
设F(x)=x3-2x2+x+

c

，

则F′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
令F′（x）=0，得x=

1

3

或x=1，列表

x	(-∞， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	-	0	+
F（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

两个图象有且仅有三个公共点，
只需

F( 1 3 )= 4 27 +c＞0 F(1)=c＜0

，
解得 -

4

27

＜c＜0．
∴c的取值范围是(-

4

27

，0)．

点评：本题考查的是函数的导数、导数的几何意义、利用导数研究函数的图象等知识，有一定的计算难度，本题属于中档题．