Question

求函数y=4-3cos²x-4sinx，x∈[

π

3

，π]的值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：令sinx=t，则y=3t²-4t+1，由 x的范围，可得t=sinx的范围，再利用二次函数的性质求得y=3t²-4t+1 的值域．

解答： 解：由于函数y=4-3cos²x-4sinx=4-3（1-sin²x）-4sinx=3sin²x-4sinx+1，
令sinx=t，∵x∈[

π

3

，π]，∴t∈[0，1]，且y=3t²-4t+1，
∴当t=

2

3

时，函数y取得最小值为-

1

3

，当t=0时，函数y取得最大值为1，故函数y的值域为[-

1

3

 1]．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，利用二次函数的性质求函数的值域，属于中档题．