Question

设函数f（x）=

1

2

x²-（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=-

1

2

e²．
（1）求b；
（2）若对任意x∈[

1

e

，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′(x)=x-(a+b)+

ab

x

=

(x-a)(x-b)

x

，从而求b；
（2）由（1）得f(x)=

1

2

x2-(a+e)x+aelnx，f′(x)=

(x-a)(x-e)

x

，从而①当a≤

1

e

时，要使得f（x）在[

1

e

，+∞)上有且只有两个零点，只需f(

1

e

)=

1

2e2

-

a+e

e

+aeln

1

e

=

(1-2e2)-2e(1+e2)a

2e2

≥0，②当

1

e

＜a＜e时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．

解答： 解：（1）f′(x)=x-(a+b)+

ab

x

=

(x-a)(x-b)

x

，
∵f′（e）=0，a≠e，
∴b=e；

（2）由（1）得f(x)=

1

2

x2-(a+e)x+aelnx，f′(x)=

(x-a)(x-e)

x

，
①当a≤

1

e

时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得

1

e

＜x＜e．
此时f（x）在(

1

e

，e)上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．
∵f(e)=

1

2

e2-(a+e)e+aelne=-

1

2

e2＜0，
f(e2)=

1

2

e4-(a+e)e2+2ae=

1

2

e(e-2)(e2-2a)≥

1

2

e(e-2)(e2-

2

e

)＞0；
∴要使得f（x）在[

1

e

，+∞)上有且只有两个零点，
则只需f(

1

e

)=

1

2e2

-

a+e

e

+aeln

1

e

=

(1-2e2)-2e(1+e2)a

2e2

≥0，
即a≤

1-2e2

2e(1+e2)

；
②当

1

e

＜a＜e时，
由f′（x）＞0得

1

e

＜x＜a或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．
此时f（x）在（a，e）上单调递减，在(

1

e

，a)和（e，+∞）上单调递增．
此时f(a)=-

1

2

a2-ae+aelna＜-

1

2

a2-ae+aelne=-

1

2

a2＜0，
∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；
③当a＞e时，
由f′（x）＞0得

1

e

＜x＜e或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，
此时f（x）在(

1

e

，e)和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且f(e)=-

1

2

e2＜0，
∴f（x）在[

1

e

，+∞)至多只有一个零点，不合题意．
综上所述，a的取值范围为(-∞，

1-2e2

2e(1+e2)

]．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．