Question

定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度d均为d=b-a，多个互无交集的区间的并集长度为各区间长度之和．例如，（1，2）∪[3，5）的长度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[3.7]=3，[-1.2]=2．记{x}=x-[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d₁，d₂，d₃分别表示不等式f（x）＞g（x），方程f（x）=g（x），不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤2015时，d₁•d₂•d₃=

 

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Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：分不等式f（x）＞g（x），方程f（x）=g（x），不等式f（x）＜g（x）三种情况，由x∈[0，1），x∈[1，2），x∈[2，2015]分类讨论分别求出d₁，d₂，d₃，即可求出所求的值．

解答： 解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1，
（i）由f（x）＞g（x），得到[x]x-[x]²＞x-1，即（[x]-1）x＞[x]²-1，
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＜1，此时x∈[0，1）；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＜0，此时x∈∅；
当x∈[2，2015]时，[x]-1＞0，上式可化为x＞[x]-1，此时x∈∅；
综上，x∈[0，1），即d₁=1；
（ii）由f（x）=g（x），得到[x]x-[x]²=x-1，即（[x]-1）x=[x]²-1，
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式化为x=1，此时x∈∅，
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式化为0=0，此时x∈[1，2），
当x∈[2，2015]时，可得[x]-1＞0，上式可化为x=[x]-1，此时x∈∅，
∴f（x）=g（x）在0≤x≤2015的解集为[1，2），即d₂=1；
（iii）由f（x）＜g（x），得到[x]x-[x]²＜x-1，即（[x]-1）x＜[x]²-1，
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，此时x∈∅，
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式化为0＞0，此时x∈∅，
当x∈[2，2015]时，[x]-1＞0，上式化为x＜[x]-1，此时x∈[2，2015），
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2015时的解集为[2，2015]，即d₃=2013，
则d₁•d₂•d₃=2013，
故答案为：2013．

点评：此题考查了交集及其运算，利用了分类讨论的思想，弄清题中的新定义是解本题的关键．