Question

已知函数f（x）=x-m

x

+5，当1≤x≤9时，f（x）＞1有恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A、m＜

  13

  3

• B、m＜5
• C、m＜4
• D、m≤5

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：令t=

x

，则由1≤x≤9可得t∈[1，3]，由题意可得f（x）=g（t）=t²-mt+5＞1在[1，3]上恒成立，即g_min（t）＞1．再利用二次函数的性质，分类讨论求得实数m的取值范围．

解答： 解：令t=

x

，则由1≤x≤9可得t∈[1，3]，
由题意可得f（x）=g（t）=t²-mt+5=(t-

m

2

)2+5-

t2

4

＞1在[1，3]上恒成立，
故有g_min（t）＞1．
①当

m

2

＜1时，函数g（t）在[1，3]上单调递增，函数g（t）的最小值为g（1）=6-m，
由6-m＞1，求得m＜5，综合可得m＜2．
②当

m

2

∈[1，3]时，函数g（t）在[1，

m

2

]上单调递减，在（

m

2

 3]上单调递增，
函数g（t）的最小值为g（

m

2

）=5-

t2

4

＞1，由此求得-4＜t＜4，综合可得2≤m＜4．
③当

m

2

＞3时，函数g（t）在[1，3]上单调递减，函数g（t）的最小值为g（3）=14-3m，
由14-3m＞1，求得m＜

13

3

，综合可得m无解．
综上可得，m＜4．

点评：本题主要考查二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．