Question

如图，已知抛物线y²=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，直线l：my=x+t（t≠0）交抛物线C于A，B两点，且满足OA⊥OB．圆E是以（-p，p）为圆心，p为直径的圆．
（1）求抛物线C和圆E的方程；
（2）设点M为圆E上的任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由焦点弦的性质可得2+

p

2

=3，解得p，即可得出；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立方程

y2=4x my=x+t

，可得根与系数的关系．利用OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，可得t=-4，故直线AB过定点N（4，0）．由于当MN⊥l，动点M经过圆心E（-2，2）时到直线l的距离d取得最大值．即可得出．

解答： 解：（1）由题意得2+

p

2

=3，得p=2，
∴抛物线C和圆E的方程分别为：y²=4x；
（x+2）²+（y-2）²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立方程

y2=4x my=x+t

，
整理得y²-4my+4t=0，
由韦达定理得

y1+y2=4m y1y2=4t

…①
则x1x2=(my1-t)(my2-t)=m2y1y2-mt(y1+y2)+t2，
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，
即（m²+1）y₁y₂-mt（y₁+y₂）+t²=0，
将 ①代入上式整理得t²+4t=0，
由t≠0得t=-4．
故直线AB过定点N（4，0）．
∴当MN⊥l，动点M经过圆心E（-2，2）时到直线l的距离d取得最大值．
由k_MN=

2-0

-2-4

=-

1

3

，得k_l=3．
此时的直线方程为l：y=3（x-4），即3x-y-12=0．

点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、点到直线的距离公式、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．