Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且A=60°，5sinB=3sinC
（1）若△ABC的面积为

15 3

4

，求a，b，c的长；
（2）在（1）的条件下，若把三角形的每条边都增加相同的长度x（x＞0），则△ABC是什么三角形？请说明理由．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,三角形的面积公式

专题：解三角形

分析：（1）依题意，5sinB=3sinC，利用正弦定理可得5b=3c，再由A=60°，

1

2

bcsinA=

15 3

4

，可求得b与c，利用余弦定理可求得a；
（2）5＞

19

＞3，x＞0⇒5+x＞

19

+x＞3+x，通过计算（3+x）²+(x+

19

)2-（5+x）²=x²+（2

19

-4）x+3（x＞0）恒成立，可判断△ABC是锐角三角形．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，A=60°，5sinB=3sinC，
∴由正弦定理得：5b=3c，
又△ABC的面积为

15 3

4

，
∴

1

2

bcsinA=

15 3

4

，即

1

2

×

3

5

c²×

3

2

=

15 3

4

，
解得：c=5，b=3，
∴a²=b²+c²-2bccosA=25+9-2×5×3×

1

2

=19，
∴a=

19

．
（2）∵5＞

19

＞3，x＞0，
∴5+x＞

19

+x＞3+x，
又（3+x）²+(x+

19

)2-（5+x）²=9+19+6x+2

19

x+2x²-25-10x-x²=x²+（2

19

-4）x+3，
令f（x）=x²+（2

19

-4）x+3，设f（x）=0的两个根分别为x₁、x₂，x₁+x₂=4-2

19

＜0，x₁•x₂=3＞0，
∴x₁＜0、x₂＜0，
∴当x＞0时，f（x）=x²+（2

19

-4）x+3＞0恒成立，即（3+x）²+(x+

19

)2＞（5+x）²恒成立，
∴△ABC是锐角三角形．

点评：本题考查三角形形状的判断，（2）中判断（3+x）²+(x+

19

)2-（5+x）²=x²+（2

19

-4）x+3（x＞0）恒成立是难点，更是关键，考查等价转化思想与分析运算能力、逻辑思维能力，属于难题．