Question

（1）已知|2x-3|≤1的解集为[m，n]
①求m+n的值；
②若|x-a|＜m，求证：|x|＜|a|+1．
（2）已知x，y，z为正实数，且

1

x

+

1

y

+

1

z

=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．

Answer 1

考点：平均值不等式在函数极值中的应用

专题：计算题,不等式

分析：（1）①由不等式|2x-3|≤1可得1≤x≤2，则m=1，n=2；
②化|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|，从而证明；
（2）利用柯西不等式求最小值即取最小值的条件．

解答： 解：（1）①由不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1得1≤x≤2，
∴m=1，n=2，
∴m+n=3；
②证明：∵|x-a|＜1，
∴|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|＜|a|+1．
（3）解：由柯西不等式得

x+4y+9z=[( x )2+(2 y )2+(3 z )2]•[( 1 x )2+( 1 y )2+( 1 z )2]                 ≥( x • 1 x +2 y • 1 y +3 z • 1 z )2=36

当且仅当x=2y=3z，即x=6，y=3，z=2时，等号成立；
所以当x=6，y=3，z=2时，x+4y+9z取得最小值36．

点评：本题考查了绝对值不等式的解法及证明，同时考查了柯西不等式在求最值时的应用，属于中档题．