Question

如图，已知抛物线C：y²=x和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x₀，y₀）（y₀≥1）做两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点．
（1）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）法一：根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k_HE=-k_HF，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-2y_H=-4，从而可求直线EF的斜率；
法二：求得直线HA的方程为y=

3

x-4

3

+2，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；
（2）法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得t=4y₀-

15

y0

（y₀≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．
法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，⊙M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距t=4m-

15

m

（m≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．

解答： 解：（1）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），
∴k_HE=-k_HF，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∴

yH-y1

xH-x1

=-

yH-y2

xH-x2

，
∴

yH-y1

yH2-y12

=-

yH-y2

yH2-y22

，
∴y₁+y₂=-2y_H=-4．（5分）
∴k_EF=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y22-y12

=

1

y2+y1

=-

1

4

．（7分）
法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB=60°，可得kHA=

3

，kHB=-

3

，
∴直线HA的方程为y=

3

x-4

3

+2，
联立方程组

y= 3 x-4 3 +2 y2=x

，
得

3

y²-y-4

3

+2=0，
∵y_E+2=

3

3

，
∴y_E=

3

3

-2，
x_E=

13-4 3

3

．（5分）
同理可得y_F=-

3

3

-2，x_F=

13+4 3

3

，
∴k_EF=-

1

4

．（7分）
（Ⅲ）法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵k_MA=

y1

x1-4

，
∴k_HA=

4-x1

y1

，
∴直线HA的方程为（4-x₁）x-y₁y+4x₁-15=0，
同理，直线HB的方程为（4-x₂）x-y₂y+4x₂-15=0，
∴（4-x₁）y₀²-y₁y₀+4x₁-15=0，（4-x₂）y₀²-y₂y₀+4x₂-15=0，（9分）
∴直线AB的方程为（4-x）y₀²-yy₀+4x-15=0，
令x=0，可得t=4y₀-

15

y0

，（y₀≥1），
∵t′=4+

15

y02

＞0，
∴t关于y₀的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当y₀=1时，t_min=-11．（12分）
法二：设点H（m²，m）（m≥1），HM²=m⁴-7m²+16，HA²=m⁴-7m²+15．
以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x-m²）²+（y-m）²=m⁴-7m²+15，①
⊙M方程：（x-4）²+y²=1．②
①-②得：直线AB的方程为（2x-m²-4）（4-m²）-（2y-m）m=m⁴-7m²+14．（9分）
当x=0时，直线AB在y轴上的截距t=4m-

15

m

（m≥1），
∵t′=4+

15

m2

＞0，
∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当m=1时，t_min=-11．（12分）

点评：本题以抛物线与圆的方程为载体，考查抛物线的标准方程，考查直线方程，同时考查利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强．