Question

已知数列{a_n}的首项为1，对任意的n∈N^*，定义b_n=a_n+1-a_n．
（Ⅰ） 若b_n=n+1
（i）求a₃的值和数列{a_n}的通项公式；
（ii）求数列{

1

an

}的前n项和S_n；
（Ⅱ）若b_n+1=b_n+2b_n（n∈N^*），且b₁=2，b₂=3，求数列{b_n}的前3n项的和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）（i）由a₁=1，a₂=a₁+b₁，可得a₃=a₂+b₂．
由a_n+1-a_n=n+1可得当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1），再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
（ii）由（i）得：

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用“裂项求和”即可得出．
（II）对任意的n∈N^*有b_n+1=b_n+2b_n（n∈N^*），且b₁=2，b₂=3，可得bn+6=

bn+5

bn+4

=

bn+4

bn+3bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=b_n，即数列{b_n}各项的值重复出现，周期为6．对n分类讨论即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）（i）∵a₁=1，a₂=a₁+b₁=1+2=3，
∴a₃=a₂+b₂=3+3=6．
．由a_n+1-a_n=n+1得
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+…+n
=

n(n+1)

2

，
而a₁=1适合上式，
∴an=

n(n+1)

2

．
（ii）由（i）得：

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴S_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)
=

2n

n+1

．
（Ⅱ）∵对任意的n∈N^*有b_n+1=b_n+2b_n（n∈N^*），且b₁=2，b₂=3，
∴bn+6=

bn+5

bn+4

=

bn+4

bn+3bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=b_n，
∴数列{b_n}各项的值重复出现，周期为6．
又数列{b_n}的前6项分别为2，3，

3

2

，

1

2

，

1

3

，

2

3

，且这六个数的和为8．
设数列{b_n}的前n项和为S_n，则，
当n=2k（k∈N^*）时，
S_3n=S_6k=k（b₁+b₂+…+b₆）=8k，
当n=2k+1（k∈N^*）时，
S_3n=S_6k+3=k（b₁+b₂+…+b₆）+b₁+b₂+b₃=8k+

13

2

，
当n=1时，S₃=

13

2

．
∴当n为偶数时，S_3n=4n；当n为奇数时，S3n=4n+

5

2

．

点评：本题考查了等差数列的前n项和公式、“裂项求和”方法、数列的周期性；考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．