Question

已知函数f（x）=x 

1

2

（x＞0），若对于任意α∈（0，

π

2

），都有f（tanα）+f（

1

tanα

）≥4cosβ（0≤β≤2π）成立，则β的取值范围是（　　）

• A、[

  π

  3

  ，

  5π

  3

  ]
• B、[

  π

  6

  ，

  11π

  6

  ]
• C、[0，

  π

  3

  ]∪[

  5π

  3

  ，2π]
• D、[0，

  π

  6

  ]∪[

  11π

  6

  ，2π

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：根据题意，利用基本不等式求出cosβ的取值范围，即可求出对应的β的取值范围是什么．

解答： 解：∵函数f（x）=x 

1

2

（x＞0），且当α∈（0，

π

2

）时，f（tanα）+f（

1

tanα

）≥4cosβ恒成立，
∴

tanα

+

1

tanα

≥4cosβ，
即

tanα

+

1

tanα

≥2；
∴4cosβ≤2，
即cosβ≤

1

2

；
又∵0≤β≤2π，
∴

π

3

≤β≤

5π

3

；
即β的取值范围是[

π

3

，

5π

3

]．
故选：A．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．