Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴上端点为B，△BF₁F₂为等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设过点F₂的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△F₁ PQ面积的最大值为6，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题得a=2c，由此能求出椭圆C的离心率．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线PQ方程：x=ty+c，联立

x=ty+c b2x2+a2y2=a2b2

，得（a²+b²t²）y²+2b²cty-b⁴=0，由此能求出椭圆C的方程．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题得BF₂=2OF₂，即a=2c，
∴e=

1

2

…（4分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线PQ方程：x=ty+c，
联立

x=ty+c b2x2+a2y2=a2b2

，
得（a²+b²t²）y²+2b²cty-b⁴=0，
∴y1+y2=-

2b2ct

a2+b2t2

，y1y2=-

b4

a2+b2t2

…（7分）S=

1

2

•2c•|y1-y2|=c

4b4c2t2 (a2+b2t2)2 + 4b4 a2+b2t2

=

2ab2c 1+t2

a2+b2t2

，
令u=

1+t2

≥1，S=

2ab2cu

a2+b2(u2-1)

=

2ab2c

c2 u +b2u

≤

2ab2c

a2

=b2，
其中等号成立时u=1，
∴b²=6，a²=8，
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

6

=1．…（12分）

点评：本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．