Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，当n≥2时，a_n+tS_n-1=n．
（Ⅰ）若t=2，求a₂，a₃及S₂₀₁₁；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已条件推导出a₃=a₅=…=a₂₀₁₁=1，a₂=a₄=…=a₂₀₁₀=0，由此能求出S₂₀₁₁=1006．
（Ⅱ）由a_n+tS_n-1=n，得a_n+1+tS_n=n+1．从而a_n+1=（1-t）a_n+1，a₂=2-t．由此能求出{a_n}的通项公式．

解答： 解：（Ⅰ）在a_n+2S_n-1=n中，
取n=2得，a₂+2a₁=2，a₂=0．（2分）
由a_n+2S_n-1=n，得a_n+1+2S_n=n+1．
相减可得a_n+1-a_n+2a_n=1，
即当n≥2时a_n+1+a_n=1．
可见，a₃=a₅=…=a₂₀₁₁=1．（4分）
a₂=a₄=…=a₂₀₁₀=0．
故S₂₀₁₁=1006．（6分）
注：只写结果扣1分．
（Ⅱ）由a_n+tS_n-1=n，得a_n+1+tS_n=n+1．
相减可得a_n+1-a_n+ta_n=1，
即当n≥2时a_n+1=（1-t）a_n+1．（9分）
其中，a₂=2-t．
①若t=0，则由a_n+1=a_n+1知第二项之后是公差为1的等差数列，
但a₁=1，a₂=2，故{a_n}是等差数列，a_n=n．
②若t=1，则a_n=1．
③若t≠0，t≠1，则由a_n+1=（1-t）a_n+1可得an+1-

1

t

=(1-t)(an-

1

t

)
于是当n≥2时，{an-

1

t

}是一个公比为1-t的等比数列，（12分）
∴an-

1

t

=(a2-

1

t

)(1-t)n-2，
即an=(2-t-

1

t

)(1-t)n-2+

1

t

（n≥2）．
n=1也适合上式，
故{a_n}的通项公式为an=-

1

t

(1-t)n+

1

t

．（14分）
注：未讨论特殊情形的扣1-2分．

点评：本题考查数列的前2011项的和的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．