题目内容
如图：在平面四边形ABCD中，AB=3| 2 |
（Ⅰ）求∠ACB的大小；
（Ⅱ）若∠CAD=∠CBD=60°，求CD的长．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）由正弦定理列出关系式，把AB，AC，以及sin∠ACB代入求出sin∠ABC的值，即可确定出∠ABC的大小；
（Ⅱ）由内角和定理求出∠CAB的度数，再由∠CAD=∠CBD=60°，得到∠ABD度数，进而求出∠ADB度数，利用正弦定理求出AD的长，再利用余弦定理求出CD的长即可．
（Ⅱ）由内角和定理求出∠CAB的度数，再由∠CAD=∠CBD=60°，得到∠ABD度数，进而求出∠ADB度数，利用正弦定理求出AD的长，再利用余弦定理求出CD的长即可．
解答：
解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：
=
，
即
=
，
整理得：sin∠ABC=1，
则∠ABC=90°；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠CAB=180°-90°-45°=45°，
又∵∠CAD=∠CBD=60°，
∴∠ABD=30°，
在△ABD中，∠ADB=180°-105°-30°=45°，
由正弦定理
=
得：AD=
=3，
在△ABD中，由余弦定理得：CD2=AD2+AC2-2AD•AC•cos∠DAC=9+36-18=27，
∴CD=3
．
| AC |
| sin∠ABC |
| AB |
| sin∠ACB |
即
| 6 |
| sin∠ABC |
3
| ||
| sin45° |
整理得：sin∠ABC=1，
则∠ABC=90°；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠CAB=180°-90°-45°=45°，
又∵∠CAD=∠CBD=60°，
∴∠ABD=30°，
在△ABD中，∠ADB=180°-105°-30°=45°，
由正弦定理
| AD |
| sin∠ABD |
| AB |
| sin∠ADB |
| ||||
|
在△ABD中，由余弦定理得：CD2=AD2+AC2-2AD•AC•cos∠DAC=9+36-18=27，
∴CD=3
| 3 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
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| 1 |
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