Question

设A，B是椭圆

x2

4

+y2=1上两个不同的点，O为坐标原点．
（1）若直线AB的斜率为-1，且经过椭圆的左焦点，求|AB|；
（2）若直线AB在y轴上的截距为4，且OA，OB的斜率之和等于2，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆方程求出其左焦点坐标，得到直线AB的方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式得答案；
（2）设出直线方程的斜截式，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B的
横坐标的和与积，代入OA，OB的斜率之和等于2求得k值，则直线AB的方程可求．

解答： 解：（1）由

x2

4

+y2=1，得a²=4，b²=1，
∴c²=a²-b²=3，则c=

3

，
椭圆的左焦点为(-

3

，0)，
则直线AB的方程为y=-（x+

3

），
联立

y=-x- 3 x2 4 +y2=1

，得5x2+8

3

x+8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8 3

5

，x1x2=

8

5

，
∴|AB|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 8 3 5 )2-4× 8 5

=

8

5

；
（2）设直线AB的方程为y=kx+4，
联立

y=kx+4 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+32kx+60=0．
则x1+x2=-

32k

4k2+1

，x1x2=

60

4k2+1

．
kOA+kOB=

y1

x1

+

y2

x2

=

(kx1+4)x2+(kx2+4)x1

x1x2

=2k+4•

x1+x2

x1x2

=2k+4•

- 32k 4k2+1

60 4k2+1

=2k+4•

-32k

60

=2，解得k=-15．
∴l_AB：y=-15x+4．

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了弦长公式的应用，体现了设而不求的解题思想方法，是中档题．