Question

5．在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为（1，0）、（-1，0），动点G满足：直线GE与直线FG的斜率之积为-4．动点G的轨迹与过点C（0，-1）且斜率为k的直线交于A，B两点．
（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；
（Ⅱ）若线段AB中点的横坐标为4 求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设动点G的坐标（x，y），求出直线EG的斜率，直线FG的斜率，利用已知条件求解即可．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx-1代入到x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，消y整理可得（k²+4）x²-2kx-3=0，由此利用韦达定理和中点坐标公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）已知E（1，0），F（-1，0），设动点G的坐标（x，y），
∴直线EG的斜率k₁=$\frac{y}{x-1}$，直线FG的斜率k₂=$\frac{y}{x+1}$，（y≠0），
∵k₁•k₁=-4，
∴$\frac{y}{x-1}$•$\frac{y}{x+1}$=-4，
即x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，（y≠0），
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx-1代入到x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
消y整理可得（k²+4）x²-2kx-3=0，
则△=4k²+12（4+k²）＞0，
则x₁+x₂=$\frac{2k}{{k}^{2}+4}$，
由$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{k}{{k}^{2}+4}$，
解得k=2．

点评 本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．