Question

13．甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B题．
（1）求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；
（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）利用古典概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出．
（2）利用互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E．
甲选做D题的概率为$\frac{C_1^1}{C_3^1}=\frac{1}{3}$，乙，丙不选做D题的概率都是$\frac{C_3^2}{C_4^2}=\frac{1}{2}$．
则$P（E）=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．
答：甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为$\frac{1}{12}$． 
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3．   $P（X=0）=（1-\frac{1}{3}）×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{2}{12}$，$P（X=1）=\frac{1}{3}×{（\frac{1}{2}）^2}+（1-\frac{1}{3}）×C_2^1（1-\frac{1}{2}）×（\frac{1}{2}）=\frac{5}{12}$，$P（X=2）=\frac{1}{3}×C_2^1（1-\frac{1}{2}）×（\frac{1}{2}）+（1-\frac{1}{3}）×C_2^2{（1-\frac{1}{2}）^2}=\frac{4}{12}$，$P（X=3）=\frac{1}{3}×C_2^2{（1-\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{12}$． 
所以X的概率分布为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{12}$

X的数学期望$E（X）=0×\frac{1}{6}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{1}{12}=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了古典概率计算公式、互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．