Question

17．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点．求证：
（1）平面PAD⊥平面ABCD；
（2）EF∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的性质可证AP⊥CD，又ABCD为矩形，AD⊥CD，利用线面垂直的判定定理可证CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定可证平面PAD⊥平面ABCD．
（2）连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，由ABCD为矩形，O点为AC中点，可证OE∥PA，进而可证OE∥平面PAD，同理可得：OF∥平面PAD，通过证明平面OEF∥平面PAD，即可证明EF∥平面PAD．

解答 证明：（1）∵AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，
∴AP⊥CD，
∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，…2分
又∵AP∩AD=A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，…4分
∵CD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD…6分
（2）连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，
∵ABCD为矩形，∴O点为AC中点，
∵E为PC中点，
∴OE∥PA，
∵OE?平面PAD，PA?平面PAD，
∴OE∥平面PAD，…8分
同理可得：OF∥平面PAD，…10分
∵OE∩OF=O，
∴平面OEF∥平面PAD，…12分
∵EF?平面OEF，
∴EF∥平面PAD…14分

点评 本题主要考查了线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，线面平行的判定与面面平行的性质的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．