Question

10．已知函数f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+2cos²ωx-1（ω＞0）的最小正周期为π
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，$\frac{7π}{12}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可．
（Ⅱ）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+2cos²ωx-1
=sin2ωxcos$\frac{π}{6}$-cos2ωxsin$\frac{π}{6}$+cos2ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
所以f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}=π$，
解得ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
因为0≤x≤$\frac{7π}{12}$，所以$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{4π}{3}$，
所以，当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值为1；
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{4π}{3}$，即x=$\frac{7π}{12}$时，f（x）取得最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．