Question

如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设

OP

=α

OC

+β

OD

（α，β∈R），则α+β的最大值等于

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划,平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：因为是正方形，所以可考虑建立平面直角坐标系：以O为原点，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，这时候可求出

OC

=(0，1)，

OD

=(2，0)，所以设P（x，y），所以根据已知条件可得：（x，y）=（2β，α），所以可用x，y表示α，β，并得到α+β=

1

2

x+y，这样求

1

2

x+y的最大值即可．而x，y的取值范围便是△BCD上及其内部，所以可想着用线性规划的知识求解．所以设z=

1

2

x+y，y=-

1

2

x+z，所以z表示直线y=-

1

2

x+z在y轴上的截距，要求α+β的最大值，只需求截距z的最大值即可，而通过图形可看出当该直线过B点时截距最大，所以将B点坐标带入直线方程，即可得到z的最大值，即α+β的最大值．

解答： 解：分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所实施平面直角坐标系；
则：

OC

=(0，1)，

OD

=(2，0)，设P（x，y），

OP

=(x，y)；
∴（x，y）=α（0，1）+β（2，0）=（2β，α）；
∴

x=2β y=α

；
∴α+β=

1

2

x+y；
设z=

1

2

x+y，则：y=-

1

2

x+z，所以z是直线y=-

1

2

x+z在y轴上的截距；
由图形可以看出，当该直线经过B（1，1）点时，它在y轴的截距z最大，最大为

3

2

；
∴α+β的最大值是

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：考查通过建立平面直角坐标系，用向量坐标解决向量问题的方法，利用线性规划求最值的方法．