Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长与焦距相等，且过定点(1，

2

2

)，倾斜角为

π

4

的直线l交椭圆C于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）确定直线l在y轴上截距的范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长与焦距相等，且过定点(1，

2

2

)，可得2b=2c，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，解出即可．
（II））设直线l的方程为y=x+m．与椭圆的方程联立化为，化为3x²+4mx+2m²-2=0．由于直线l交椭圆C于A、B两点，可得△＞0，解出即可．

解答： 解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长与焦距相等，且过定点(1，

2

2

)，
∴2b=2c，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，
解得b²=1，a²=2．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（II）设直线l的方程为y=x+m．
联立

y=x+m x2+2y2=2

，化为3x²+4mx+2m²-2=0，
∵直线l交椭圆C于A、B两点，
∴△＞0，
∴16m²-12（2m²-2）＞0，
化为m²＜3．
解得-

3

＜m＜

3

．
∴直线l在y轴上截距的范围是(-

3

，

3

)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得△＞0，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．