题目内容
已知椭圆的中心在原点，焦点与双曲线
-
=1的焦点相同，且经过点M（4，1）；直线l：y=x+m交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l不过点M，试问直线AM，BN与x轴是否能构成一个等腰三角形？请说明理由．
| x2 |
| 10 |
| y2 |
| 5 |
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l不过点M，试问直线AM，BN与x轴是否能构成一个等腰三角形？请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）椭圆方程为
+
=1（λ＞0），待定系数法求解，（2）解方程组
，得5x2+8mx+4m2-20=0，利用韦达定理求解，k1+k2=
=0即可证明．
| x2 |
| 15+λ |
| y2 |
| λ |
|
| (y1-1)(x2-4)+(x1-4)(y2-1) |
| (x1-4)(x2-4) |
解答：
解：（1）以题意可知，椭圆中的半焦距c2=10+5=15，
设椭圆方程为
+
=1（λ＞0）
∵过点M（4，1），
∴
+
=1，∴λ=5或λ=-3（舍去）
∴
+
=1
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
解方程组
，得5x2+8mx+4m2-20=0
x1+x2=-
，x1x2=
设直线MA．MB的斜率分别为k1，k2，
则k1=
，k2=
，k1+k2=
∵（y1-1）（x2-4）+（y2-1）（x1-4）=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）=0，
∴k1+k2=0，
∴直线AM，BN与x轴能构成一个等腰三角形
设椭圆方程为
| x2 |
| 15+λ |
| y2 |
| λ |
∵过点M（4，1），
∴
| 16 |
| 16+λ |
| 1 |
| λ |
∴
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
解方程组
|
x1+x2=-
| 8m |
| 5 |
| 4m2-20 |
| 5 |
设直线MA．MB的斜率分别为k1，k2，
则k1=
| y1-1 |
| x1-4 |
| y2-1 |
| x2-4 |
| (y1-1)(x2-4)+(x1-4)(y2-1) |
| (x1-4)(x2-4) |
∵（y1-1）（x2-4）+（y2-1）（x1-4）=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）=0，
∴k1+k2=0，
∴直线AM，BN与x轴能构成一个等腰三角形
点评：本考查了直线与椭圆的位置关系，结合方程求解，运用韦达定理判断，属于中档题．
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| ||
B、
| ||
C、
| ||
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|
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