Question

设集合I={1，2，3，…，n} （n∈N，n≥2），构造I的两个非空子集A，B，使得B中最小的数大于A中最大的数，则这样的构造方法共有

 

种．

Answer 1

考点：排列、组合及简单计数问题

专题：计算题,排列组合

分析：由题意得：a₁=0，a₂=

C

2 2

=1，当n≥2时，a_n=

C

2 n

+2

C

3 n

+3

C

4 n

+…+（n-1）

C

n n

，由此能求出a_n=n2^n-1-2ⁿ+1（n∈N₊）．

解答： 解：记不同的选择方法种数为a_n，由题意得：a₁=0，a₂=

C

2 2

=1
当n≥2时，a_n=

C

2 n

+2

C

3 n

+3

C

4 n

+…+（n-1）

C

n n

=（2

C

2 n

+3

C

3 n

+4

C

4 n

+…+n

C

n n

）-（

C

2 n

+

C

3 n

+

C

4 n

+…+

C

n n

）
=n2^n-1-（2ⁿ-1）=n2^n-1-2ⁿ+1
又a₁=0，a₂=1也满足，
故a_n=n2^n-1-2ⁿ+1．
故答案为：n2^n-1-2ⁿ+1．

点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题．