Question

某人在同一城市开了两家小店，每家店各有2名员工．节日期间，每名员工请假的概率都是

1

2

，且是否请假互不影响．若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业．计算：
（Ⅰ）有人被调剂的概率；
（Ⅱ）停业的店铺数X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）根据题意，设出事件列出概率运用公式求解．
（Ⅱ）求出X的可能取值为0，1，2．分别求解概率，列出分布列求出数学期望，

解答： 解 （Ⅰ）设某人所开的两家小店分别为A和B，
分别记A、B的员工全部请假为事件A₀、B₀，A、B的员工有1人，
没有请假为事件A₁、B₁，A、B的员工都没有请假为事件A₂、B₂，A、B的员工至少有1人没有请假为事件A₃、B₃． 
由已知有，P ( A0 )=P ( B0 )=( 

1

2

 )2=

1

4

，
P ( A1 )=P ( B1 )=

C

1 2

• ( 

1

2

 )2=

1

2

，
P ( A2 )=P ( B2 )=( 

1

2

 )2=

1

4

，
P ( A3 )=P ( B3 )=1-( 

1

2

 )2=

3

4

，
有人被调剂的概率为P ( A0 B2+A2B0 )=P ( A0 ) P ( B2 )+P ( A2 ) P ( B0 )=2×

1

4

×

1

4

=

1

8

．  
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．
P（X=0）=P（A₃B₃+A₀B₂+A₂B₀）=P（A₃）P（B₃）+P（A₀B₂+A₂B₀）=

3

4

×

3

4

+

1

8

=

11

16

，P ( X=1 )=P ( A0B1+A1B0 ) =P ( A0 ) P ( B1 )+P ( A1 ) P ( B0 )=2×

1

4

×

1

2

=

1

4

，P ( X=2 )=P ( A0B0 ) =P ( A0 ) P ( B0 ) =

1

4

×

1

4

=

1

16

．       
所以，X的分布列是

X	0	1	2
p	11 16	1 4	1 16

X的数学期望EX=0×

11

16

+1×

1

4

+2×

1

16

=

3

8

．

点评：本题考查了离散型随机变量的概率，分布列，数学期望，属于中档题．