Question

如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB=50km，B，C间的距离为100km，从A到C必须先坐船到BC上的某一点D，航速为25km/h，再乘汽车到C，车速为50km/h，记∠BDA=θ
（1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t（θ）；
（2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（1）用θ表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于θ函数即可；
（2）对函数求导，研究出函数的单调性确定出θ=

π

3

时，由A到C所用的时间t最少．

解答： 解：（1）在Rt△ABD中，AB=50km，∴BD=50cotθ，AD=

50

sinθ

，∴DC=100-BD=100-50cotθ．
∴t（θ）=

2

sinθ

+2-cotθ=

2-cosθ

sinθ

+2（θ∈[arctan

1

2

，

π

2

））；
（2）t′（θ）=

1-2cosθ

sin2θ

，
∴θ∈[0，

π

3

）时，t′（θ）＜0；θ∈（

π

3

，

π

2

），t′（θ）＞0
∴当θ=

π

3

时，由A到C所用的时间t最少．

点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，应用三角函数模型求解用时最少的问题，求解本题的关键是对问题进行细致分析得出符合条件的函数模型．