Question

如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，O分别为PA，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．
（1）求BP与平面BOE所成角的正弦值；
（2）若G是OC的中点，在棱PB上是否存在点F，使得GF∥平面BOE，若存在，求PF：FB；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先根据面面的垂直关系转化为线线垂直，然后建立直角坐标系，利用法向量求出线面的夹角的正弦值．
（2）先假设存在然后进行证明，利用相面的平行关系，建立向量与法向量之间的联系，最终求出结果．

解答： 解：（1）连结PO，
因为：PA=PC，O是AC的中点，
∴PO⊥AC
由平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴PO⊥平面ABC，
PO⊥OB，PO⊥OC
△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，O是AC的中点
∴BO⊥AC
分别以OB，OC，OP所在的直线建立x轴y轴和z轴
进一步求得：A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3）
设平面OBE得法向量为：

n

=(x，y，z)
则：

n • OB =0 n • OE =0

令y=3则z=4
所以：

n

=(0，3，4)
设BP与平面BOE所成的角为θ
sinθ=|

BP • n

| BP || n |

|=

12

25

（2）假设在棱PB上是否存在点F，使得GF∥平面BOE，进一步

BF

=λ

BP

(0≤λ≤1)
G（0，4，0），

GF

=

GO

+

OB

+

BF

=（8-8λ，-4，6λ）
由于GF∥平面BOE，
所以

GF

•

n

=3×(-4)+4×6λ=0
解得：λ=

1

2

所以

PF

FB

=1

点评：本题考查的知识点：面面垂直与线面垂直的转化和线线垂直之间的转化，法向量的应用，空间直角坐标系的建立，线面的夹角的应用，向量的夹角的应用，存在性问题的确定．