Question

13．已知函数f（x）=x²-ax+3在区间（-∞，2）上是减函数，在区间[2，+∞）上是增函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在区间[0，3]上的值域；
（3）求f（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=x²-ax+3在区间（-∞，2）上是减函数，在区间[2，+∞）上是增函数，可得函数图象的对称轴为x=2，进而得到a的值；
（2）分析f（x）在区间[0，3]上的单调性，进而得到f（x）在区间[0，3]上的最值，可得f（x）在区间[0，3]上的值域；
（3）结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得f（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-ax+3在区间（-∞，2）上是减函数，在区间[2，+∞）上是增函数，
∴f（x）图象的对称轴为x=2，
即$\frac{a}{2}$=2，
∴a=4．…（3分）
（2）∵f（x）=x²-4x+3在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，
∴当x=2时，f（x）取最小值-1，
又由f（0）=3，f（3）=0得：
∴当x=0时，f（x）取最大值3，
∴f（x）在区间[0，3]上值域为[-1，3]．…（7分）
（3）令f（x）=x²-4x+3=3，则x=0，或x=4，
故当0＜m≤4时，f（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）=f（0）=3；
当m＞4时，f（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）=f（m）=m²-4m+3，
综上可得：g（m）=$\left\{\begin{array}{l}3，0＜m≤4\\{m}^{2}-4m+3，m＞4\end{array}\right.$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．