Question

1．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}a{x^3}+\frac{1}{2}（a+1）{x^2}-（a+2）x+6$的极大值是f（-3）=15，
（1）是否存在极小值？若存在求出极小值．若不存在说明理由；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用函数的极大值求出a，然后求解函数的导数，求出极值点，判断单调性求出极小值．
（2）利用（1）直接求解函数的单调区间即可．

解答 解：（1）函数$f（x）=\frac{1}{3}a{x^3}+\frac{1}{2}（a+1）{x^2}-（a+2）x+6$的极大值是f（-3）=15，即y_极大值=f（-3）=15，
可得-9a+$\frac{9}{2}$（a+1）+3（a+2）+6=15，
得a=1．…（2分），
f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$+x²-3x+6
得y′=x²+2x-3，
令y′=0，得x=-3，或x=1，…（4分）  x∈（-3，1）时，y′＜0，函数是减函数，x∈（1，+∞）时，y′＞0，函数是
增函数，
x=1时，函数取得极小值，
 ${y_{极小值}}=f（1）=\frac{13}{3}$，…（8分）
（2）由（1）可知函数的增区间为：（-∞，-3）和（1，+∞），减区间为：（-3，1）．…（12分）．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力．