Question

3．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），当$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$时，f（asinθ）+f（1-a）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}}）$
• B． $（{2-\sqrt{2}，1}）$
• C． $（{1，2+\sqrt{2}}]$
• D． $（{-∞，2+\sqrt{2}}]$

Answer 1

分析 利用奇偶函数的定义可判定f（x）=x+sinx为奇函数，再利用导数法克判断出f（x）=x+sinx为增函数，分离参数a，可得g（θ）=$\frac{1}{1-sinθ}$在区间$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$上单调递增，从而得到a≤g（$\frac{π}{4}$）=2+$\sqrt{2}$，得到答案．

解答 解：∵f（x）=x+sinx，
∴f（-x）=-x+sin（-x）=-x-sinx=-f（x），
∴函数f（x）=x+sinx为奇函数，
又f′（x）=1+cosx≥0，
∴函数f（x）=x+sinx为增函数，
∴f（asinθ）+f（1-a）＞0恒成立?f（asinθ）＞-f（1-a）=f（a-1），
∴asinθ＞a-1，
∵当$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$时，sinθ＞0，
∴a＜$\frac{1}{1-sinθ}$（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{π}{2}$）恒成立，∵g（θ）=$\frac{1}{1-sinθ}$在区间$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$上单调递增，
∴a≤g（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2+$\sqrt{2}$，
∴实数a的取值范围是（-∞，2+$\sqrt{2}$]，
故选：D．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的判定及应用，分离参数a是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．