Question

14．已知二次函数f（x）满足f（0）=1且f（x+1）-f（x）=2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式； 
（Ⅱ）若g（x）=2^f（x），x∈[-1，1]，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，由f（x+1）-f（x）=2x+2，得2ax+a+b=2x+2，解方程组求出a，b的值，从而求出函数的解析式；
（Ⅱ）f（x）=x²+x+1的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{1}{2}$的抛物线，先求出f（x），x∈[-1，1]的最值，进而可得g（x），x∈[-1，1]的最值，进而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
因为f（x+1）-f（x）=2x+2，
所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x+2．
即2ax+a+b=2x+2，
∴2a=a+b=2，解得：a=1，b=1，
∴f（x）=x²+x+1
（Ⅱ）f（x）=x²+x+1的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{1}{2}$的抛物线，
由x∈[-1，1]得：
当x=-$\frac{1}{2}$时，f（x）取最小值$\frac{3}{4}$，此时g（x）=2^f（x）取最小值$\root{4}{8}$，
当x=1时，f（x）取最大值3，此时g（x）=2^f（x）取最大值8，
故g（x）的值域为[$\root{4}{8}$，8]

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．