Question

4．若正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁C₁、AB的中点，则A₁B₁与截面A₁ECF所成的角的正切值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 证明直线EF垂直平面A₁B₁C内的两条相交直线A₁C、B₁C，可得EF⊥平面A₁B₁C，从而B₁在平面A₁ECF上的射影在线段A₁C上，则∠B₁A₁C就是A₁B₁与平面A₁ECF所成的角．然后解三角形，求A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正切值，即可得出结论．

解答 解：连接C₁B，
∵E、F分别为C₁D₁与AB的中点，
∴A₁F=CE．
又A₁F∥CE，
∴A₁FCB为平行四边形，
∴C₁B∥EF．
而C₁B⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．
又四边形A₁ECF是菱形，∴EF⊥A₁C．∴EF⊥面A₁B₁C．
又EF?平面A₁ECF，
∴平面A₁B₁C⊥平面A₁ECF，
∴B₁在平面A₁ECF上的射影在线段A₁C上．
∴∠B₁A₁C就是A₁B₁与平面A₁ECF所成的角．
∵A₁B₁⊥B₁C，在Rt△A₁B₁C中，tan∠B₁A₁C=$\sqrt{2}$．
∴A₁B₁与平面A₁ECF所成角为arctan$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．