Question

已知函数f（x）=-1+2

3

sinxcosx+2cos²x．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标；
（3）若α，β角的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换可得f（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），再利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间；
（2）由sin（2x+

π

6

）=0可得，x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），于是可求得f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标；
（3）由f（α）=f（β）得，2sin（2α+

π

6

）=2sin（2β+

π

6

），α与β不共线⇒α+β=kπ+

π

3

（k∈Z），于是可求得tan（α+β）的值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
（1）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z），
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
（2）由sin（2x+

π

6

）=0得，2x+

π

6

=kπ（k∈Z），即x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z）；
∴f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标为（-

π

12

，0）；
（3）由f（α）=f（β）得，2sin（2α+

π

6

）=2sin（2β+

π

6

），
又α与β不共线，
∴（2α+

π

6

）+（2β+

π

6

）=2kπ+π（k∈Z），即α+β=kπ+

π

3

（k∈Z），
∴tan（α+β）=

3

．

点评：本题考查三角恒等变换，着重考查正弦函数的单调性与对称性，考查两角和正切，考查综合运算能力，属于中档题．