Question

已知函数f（x）=

lnx

x

．
（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若a＞0，函数h（x）=xf（x）-x-ax²在（0，2）上有极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，根据导数判断函数的单调性即可．
（2）求导数，由函数h（x）=x•f（x）-x-ax²在（0，2）上有极值，可得2ax²+x-1=0在（0，2）有单根（不能为重根，即a≠-

1

8

），即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

lnx

x

，
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
令f′（x）=0，解得x=e，
当f′（x）＞0时，即0＜x＜e，时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即x＞e，时，函数f（x）单调递减，
故函数f（x）在（0，e）上递增，再（e，+∞）上递减．
（2）∵h（x）=lnx-x-ax²
∴h′（x）=

1

x

-1-2ax=

1-x-2ax2

x

=-

2ax2+x-1

x

∵函数h（x）=x•f（x）-x-ax²在（0，2）上有极值，
∴2ax²+x-1=0在（0，2）有单根（不能为重根，即a≠-

1

8

），
由a=

1-x

2x2

=

1

2

（

1

x

-

1

2

）²-

1

8

，
∵

1

x

＞

1

2

＞0，∴有a＞-

1

8

，
∴a的取值范围是a＞0．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题