Question

定义g（x）=f（x）-x的零点x₀为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）若函数g（x）有不变号零点，且b＞1，求实数a的最小值．

Answer 1

考点：函数的零点,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）g（x）=f（x）-x=x²-2x-3=0求解．（2）ax²+bx+b-1=0（a≠0）有两个相异实根，
（2）程ax²+bx+b-1=0（a≠0）有两个相异实根，△=b²-4a（b-1）＞0对于任意实数b成立根据二次函数的性质可得；16a²-16a＜0，即可求解范围．
（3）把函数g（x）有不变号零点，转化为；方程ax²+bx+b-1=0（a≠0）有两个相等实根，即△=b²-4a（b-1）=0，b＞1，a=

b2

4(b-1)

，再运用函数，结合均值不等式求解．

解答： 解（1）当a=1，b=-2时，
g（x）=f（x）-x=x²-2x-3
令g（x）=0
解得：x=-1或x=3，
∴函数f（x）的不动点为-1或3，
（2）g（x）=f（x）-x=0有两个相异实根
即方程ax²+bx+b-1=0（a≠0）有两个相异实根，
∴△=b²-4a（b-1）＞0对于任意实数b成立
即b²-4ab+4a＞0恒成立．
∴16a²-16a＜0，
∴a∈（0，1）
（3）g（x）=f（x）-x=0有两个相等实根
即方程ax²+bx+b-1=0（a≠0）有两个相等实根，
∴△=b²-4a（b-1）=0
∵b＞1∴a=

b2

4(b-1)

令b-1=t，则b=t+1，且t＞0
∴a=

(t+1)2

4t

=

1

4

(t+

1

t

+2)
令h（t）=

1

4

(t+

1

t

+2)，
易证函数h（t）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增
∴h（t）的最小值为h（1）=1
∴实数a的最小值是1．

点评：本题考查了函数的性质，方程的根的判断方法，综合性强，难度大．