Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（xy）=f（x）+f（y），若f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：由于f（3）=1，f（xy）=f（x）+f（y），则f（9）=2，原不等式即f（x）＞f[9（x-1）]由单调性得，

a＞0 a-1＞0 a＞9(a-1)

，解出不等式组，即可得到解集．

解答： 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2，
∴f（a）＞f（a-1）+2=f（a-1）+f（9）=f[9（a-1）]．
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴

a＞0 a-1＞0 a＞9(a-1)

，
解得1＜a＜

9

8

，
故所求a的取值范围为（1，

9

8

）

点评：本题主要考查函数的单调性的应用，注意函数的定义域，考查不等式的解法，属于中档题．