题目内容
已知动点M到定点（1，0）的距离比到直线x=-2的距离少1．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=
时，证明AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=
| π |
| 3 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：直线与圆
分析：（1）设M（x，y），则
+1=x+2，由此能求出动点M的轨迹C的方程为y2=4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为y=kx+b，将y=kx+b与y2=4x，得ky2-4y+4b=0，由韦达定理知y1+y2=
，y1y2=
，由此能推导出直线AB恒过定点（-4，
）．
| (x-1)2+y2 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为y=kx+b，将y=kx+b与y2=4x，得ky2-4y+4b=0，由韦达定理知y1+y2=
| 4 |
| k |
| 4b |
| k |
4
| ||
| 3 |
解答：
（1）解：设M（x，y），
∵动点M到定点（1，0）的距离比到直线x=-2的距离少1，
∴
+1=x+2，
解得动点M的轨迹C的方程为y2=4x．
（2）证明：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意得x1≠x2（否则α+β=π）且x1x2≠0，
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，
显然x1=
，x2=
，
将y=kx+b与y2=4x联立消去x，得ky2-4y+4b=0，
由韦达定理知y1+y2=
，y1y2=
，①
∵α+β=
，∴tan
=tan（α+β）=
=
，
将①式代入上式整理化简可得：tan
=
，
所以b=
+4k=
+4k，
此时，直线AB的方程可表示为y=kx+
+4k，
即k（x+4）-（y-
）=0，
所以直线AB恒过定点（-4，
）．
∵动点M到定点（1，0）的距离比到直线x=-2的距离少1，
∴
| (x-1)2+y2 |
解得动点M的轨迹C的方程为y2=4x．
（2）证明：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意得x1≠x2（否则α+β=π）且x1x2≠0，
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，
显然x1=
| y12 |
| 4 |
| y22 |
| 4 |
将y=kx+b与y2=4x联立消去x，得ky2-4y+4b=0，
由韦达定理知y1+y2=
| 4 |
| k |
| 4b |
| k |
∵α+β=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| tanα+tanβ |
| 1-tanαtanβ |
| 4(y1+y2) |
| y1y2-64 |
将①式代入上式整理化简可得：tan
| π |
| 3 |
| 4 |
| b-4k |
所以b=
| 4 | ||
|
4
| ||
| 3 |
此时，直线AB的方程可表示为y=kx+
4
| ||
| 3 |
即k（x+4）-（y-
4
| ||
| 3 |
所以直线AB恒过定点（-4，
4
| ||
| 3 |
点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，|BC|=4，|AC|=3，一曲线E过点A，动点P在曲线E运动，且保持|PC|+|PB|的值不变．
已知P是二面角α-AB-β内一点，PC⊥α，垂足为C，PD⊥β，垂足为D，且PC=3，PD=4，∠CPD=60°，求：