题目内容
（Ⅰ）证明：a2+b2+3≥ab+
（a+b）；
（Ⅱ）已知：a，b，c均为实数，且a=x2-2y+
，b=y2-2z+
，c=z2-2x+
，
求证：a，b，c中至少有一个大于0．
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（Ⅱ）已知：a，b，c均为实数，且a=x2-2y+
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求证：a，b，c中至少有一个大于0．
考点：不等式的证明,反证法与放缩法
专题：证明题,推理和证明
分析：（Ⅰ）可利用分析法，要证a2+b2+3≥ab+
（a+b）成立，只需证其充分条件2（a2+b2+3）≥2ab+2
（a+b）成立，只需证下一个充分条件成立，…，直到其充分条件显然成立为止；
（Ⅱ）利用反证法，假设a≤0，b≤0，且c≤0，则a+b+c≤0，通过正确的推理，导出矛盾，从而推翻假设，肯定原结论成立．
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（Ⅱ）利用反证法，假设a≤0，b≤0，且c≤0，则a+b+c≤0，通过正确的推理，导出矛盾，从而推翻假设，肯定原结论成立．
解答：
（Ⅰ）证明：要证a2+b2+3≥ab+
（a+b）成立，
只要证：2（a2+b2+3）≥2ab+2
（a+b）；
即证：（a2+b2-2ab）+（a2+3-2
a）+（b2-2
b+3）≥0；
即证：（a-b）2+(a-
)2+(b-
)2≥0，
而上式显然成立，当且仅当a=b=
时取“=”，故原结论成立．
（Ⅱ）证明：假设a≤0，b≤0，且c≤0，则a+b+c≤0，
而a+b+c=x2-2y+
+y2-2z+
+z2-2x+
=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3＞0，与a+b+c≤0矛盾，
故假设不成立，
所以原结论成立，即a，b，c中至少有一个大于0．
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只要证：2（a2+b2+3）≥2ab+2
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即证：（a2+b2-2ab）+（a2+3-2
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即证：（a-b）2+(a-
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而上式显然成立，当且仅当a=b=
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（Ⅱ）证明：假设a≤0，b≤0，且c≤0，则a+b+c≤0，
而a+b+c=x2-2y+
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=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3＞0，与a+b+c≤0矛盾，
故假设不成立，
所以原结论成立，即a，b，c中至少有一个大于0．
点评：本题考查不等式的证明，着重考查分析法与反证法的应用，考查推理论证能力，属于中档题．
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