题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，|BC|=4，|AC|=3，一曲线E过点A，动点P在曲线E运动，且保持|PC|+|PB|的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）若直线l交曲线E于M、N两点，曲线E与y轴正半轴交于Q点，且△QMN的重心恰好为B点，求线段MN中点的坐标；
（3）以V（-6，-6）为圆心的圆与曲线E交于R、S两点，求RS中点T的轨迹方程．
考点：圆锥曲线的轨迹问题,椭圆的应用,直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用椭圆的定义即可得出；
（2）利用重心定理即可得出；
（3）利用“点差法”、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
（2）利用重心定理即可得出；
（3）利用“点差法”、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
解答：
解：（1）以CB所在直线为x轴，CB中垂线为y轴建立直角坐标系，设P（x，y）．
∴|PC|+|PB|=|AC|+|AB|=3+5=8＞4=|BC|，
∴动点P轨迹为椭圆，c=2，a=4，b=2
．
∴曲线E的方程为
+
=1．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
又Q(0， 2
)，B（2，0）．
∴由重心公式得
，则
，
∴MN中点为(3， -
)．
（3）设R（x3，y3），S（x4，y4），T（x，y）．
由
，
相减化简得
=-
，
即kRS•y=-
x；①
由VT⊥RS，得kRS•kVT=-1，即kRS•
=-1．②
由①、②化简得xy-18x+24y=0，并且满足
+
＜1．
∴|PC|+|PB|=|AC|+|AB|=3+5=8＞4=|BC|，
∴动点P轨迹为椭圆，c=2，a=4，b=2
| 3 |
∴曲线E的方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
又Q(0， 2
| 3 |
∴由重心公式得
|
|
∴MN中点为(3， -
| 3 |
（3）设R（x3，y3），S（x4，y4），T（x，y）．
由
|
相减化简得
| (x3-x4)•2x |
| 16 |
| (y3-y4)•2y |
| 12 |
即kRS•y=-
| 3 |
| 4 |
由VT⊥RS，得kRS•kVT=-1，即kRS•
| y+6 |
| x+6 |
由①、②化简得xy-18x+24y=0，并且满足
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
点评：本题考查了椭圆的定义、重心定理、“点差法”、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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