Question

7．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD，PA=AC=2AD=4，AB=BC=2$\sqrt{5}$，M，N，E分别为PD，PB，CD的中点．
（1）求证：平面MBE⊥平面PAC；
（2）求二面角M-AC-N的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设F为AC中点，连接BF和EF，可得B、F、E三点共线，且BE⊥AC．再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BE，从而BE⊥平面PAC，进一步得到平面MBE⊥平面PAC；
（2）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AC且PA⊥AD，又AC⊥AD，则以A为坐标原点，AC为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系，由已知求出所用点的坐标，分别求出平面MAC的法向量与平面NAC的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角M-AC-N的余弦值．

解答 （1）证明：设F为AC中点，连接BF和EF，
∵AB=BC，∴BF⊥AC．
∵E为CD中点，∴EF∥AD．
又∵AC⊥AD，∴EF⊥AC．
∴B、F、E三点共线，∴BE⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，且BE?平面ABCD，
∴PA⊥BE．
∴BE⊥平面PAC．
又∵BE?平面MBE，
∴平面MBE⊥平面PAC；
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC且PA⊥AD．
又∵AC⊥AD，
∴以A为坐标原点，AC为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
∵PA=AC=2AD=4，AB=BC=2$\sqrt{5}$，M，N，E分别为PD，PB，CD的中点，
∴A（0，0，0），B（2，-4，0），C（4，0，0），D（0，2，0），P（0，0，4），
M（0，1，2），N（1，-2，2）．
∴$\overrightarrow{AM}=（0，1，2）$，$\overrightarrow{AC}=（4，0，0）$，$\overrightarrow{AN}=（1，-2，2）$．
设平面MAC的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，平面NAC的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\\{4{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}=（0，-2，1）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-2{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\\{4{x}_{2}=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（0，1，1）$．
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{-1}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴二面角M-AC-N的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．