Question

17．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=$\sqrt{2}$，侧棱AA₁=2，点D为AB的中点，点E在线段AA₁上，AE=λAA₁（λ为实数）．
（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B₁E；
（2）当λ=$\frac{1}{3}$时，求多面体C₁B-ECD的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得CD⊥AB．再由AA₁⊥平面ABC，得AA₁⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB₁A₁．进一步得到CD⊥B₁E；
（2）当λ=$\frac{1}{3}$时，$AE=\frac{1}{3}A{A}_{1}=\frac{2}{3}$．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边$AB=\sqrt{2}$，得AC=BC=1．然后利用${V}_{{C}_{1}B-ECD}={V}_{{C}_{1}-BCE}+{V}_{D-BCE}$结合等积法得答案．

解答 （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．
∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴AA₁⊥CD．
又∵AA₁?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁．
∵点E在线段AA₁上，∴B₁E?平面ABB₁A₁，
∴CD⊥B₁E；
（2）解：当λ=$\frac{1}{3}$时，$AE=\frac{1}{3}A{A}_{1}=\frac{2}{3}$．
∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边$AB=\sqrt{2}$，∴AC=BC=1．
∴${V_{{C_1}-CBE}}={V_{E-{C_1}BC}}=\frac{1}{3}AC•{S_{△{C_1}BC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2=\frac{1}{3}$，
${V_{D-BEC}}={V_{E-CDB}}=\frac{1}{3}AE•{S_{△DBC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{2}{3}=\frac{1}{18}$，
∴$V=\frac{1}{3}+\frac{1}{18}=\frac{7}{18}$．

点评 本题考查线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求得多面体的体积，是中档题．