Question

12．已知函数f（x）=|x²-2x+a-1|-a²-2a．
（1）当a=3时，求f（x）≥-10的解集；
（2）若f（x）≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=3时，f（x）的解析式，去掉绝对值，运用二次不等式的解法，即可得到所求解集；
（2）由题意可得|x²-2x+a-1|-a²-2a≥0对x∈R恒成立，即有|（x-1）²+a-2|-a²-2a≥0对x∈R恒成立．再讨论a-2≤0和a-2＞0，可得a的不等式，解不等式求交集，即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=|x²-2x+2|-15，
由x²-2x+2＞0恒成立，则f（x）=x²-2x-13，
由f（x）≥-10，可得x²-2x-3≥0，
解得x≥3或x≤-1，
即f（x）≥-10的解集为{x|x≥3或x≤-1}；
（2）f（x）≥0对x∈R恒成立，
即为|x²-2x+a-1|-a²-2a≥0对x∈R恒成立，
即有|（x-1）²+a-2|-a²-2a≥0对x∈R恒成立．
当a-2≤0即a≤2时，只需a²+2a≤0，即-2≤a≤0；
当a-2＞0，即a＞2时，只需a²+2a≤a-2，即a²+a+2≤0，
由判别式△=1-4×2＜0，可得不等式无实数解．
综上可得，a的取值范围是[-2，0]．

点评 本题考查含绝对值的不等式的解法，不等式恒成立问题的解法，考查绝对值的含义和配方法、分类讨论的思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．