Question

16．过双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F的直线l：y=$\sqrt{3}x-4\sqrt{3}$与C只有一个公共点，则C的焦距为8，C的离心率为2．

Answer 1

分析 结合双曲线的性质$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，0=$\sqrt{3}$c-4$\sqrt{3}$，求出a，c即可．

解答 解：过双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
因为过双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F的直线l：y=$\sqrt{3}x-4\sqrt{3}$与C只有一个公共点，
所以$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，0=$\sqrt{3}$c-4$\sqrt{3}$，
又因为a²+b²=c²，
解得c=3，a=$\frac{3}{2}$，
所以2c=8，e=$\frac{c}{a}$=2，
故答案为：8，2

点评 本题给出双曲线方程，求经过双曲线的右交点且与双曲线只有一个公共点的直线的条数．着重考查了直线的方程、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．