Question

17．函数y=$\frac{2sinx}{{1+\frac{1}{x^2}}}（x∈[-\frac{3π}{4}，0）∪（0，\frac{3π}{4}]）$的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 判断函数的奇偶性，排除选项，求出函数的导数，利用函数的单调性排除选项，推出结果．

解答 解：因为函数$y=f（x）=\frac{2sinx}{{1+\frac{1}{x^2}}}$可化简为$f（x）=\frac{{2{x^2}sinx}}{{{x^2}+1}}$可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C；
同时有$y'=f'（x）=\frac{{4xsinx+2{x^4}cosx+2{x^2}cosx}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$=$\frac{{2x（2sinx+{x^3}cosx+xcosx）}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$，
故函数在$x∈（0，\frac{π}{2}）$时f'（x）＞0，则$x∈（0，\frac{π}{2}）$上单调递增，排除答案B和D，
故选：A．

点评 本题考查函数的图象的判断与应用，函数的导数判断函数的单调性，考查计算能力．