Question

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=1，函数b≠0，函数g（x）=

1

3

bx³-bx，如果对任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使得f（x₁）=g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a；
（Ⅱ）求出导数，对a讨论，a≤0，a＞0分别令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域即可得到单调区间；
（Ⅲ）求出f（x）在（1，2）内的值域，讨论b＞0，b＜0，求出g（x）的值域，由已知得到f（x）的值域包含在g（x）的值域，即可得到b的范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx-ax的导数为f′（x）=

1

x

-a，
则在点（1，f（1））处的切线斜率为1-a，
由于切线与直线x-y+1=0垂直，则1-a=-1，
则a=2；
（Ⅱ）f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增，
当a＞0时，f′（x）＞0时，0＜x＜

1

a

，f′（x）＜0时，x＞

1

a

．
综上，a≤0时，f（x）只有增区间：（0，+∞），
a＞0时，f（x）的增区间是（0，

1

a

），减区间为（

1

a

，+∞）；
（Ⅲ）a=1时，f（x）=lnx-x，由（Ⅱ）知f（x）在（1，2）上递减，则f（x）的值域为（ln2-2，-1），
由于g（x）=

1

3

bx³-bx的导数为g′（x）=b（x²-1），
则当b＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上递增，g（x）的值域为（-

2

3

b，

2

3

b）；
当b＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（1，2）上递减，g（x）的值域为（

2

3

b，-

2

3

b）；
由于对任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使得f（x₁）=g（x₂），
则b＞0时，（ln2-2，-1）⊆（-

2

3

b，

2

3

b），则有-

2

3

b≤ln2-2，即有b≥3-

3

2

ln2；
b＜0时，（ln2-2，-1）⊆（

2

3

b，-

2

3

b），则有

2

3

b≤ln2-2，即有b≥

3

2

ln2-3．
综上，可得实数b的取值范围是（-∞≥

3

2

ln2-3]∪[3-

3

2

ln2，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查函数的单调性和运用：求最值和值域，考查任意和存在问题转化为值域的包含关系，属于中档题和易错题．