Question

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna-b（a，b∈R，A＞1），e是自然对数的底数．
（1）试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）当a=e，b=4时，求整数k的值，使得函数f（x）在区间（k，k+1）上存在零点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先对原函数求导，研究导数的符号判断原函数的单调性，本题的导函数没办法分解因式等变形，因此研究导函数的单调性，研究导数的最小值判断符号；
（2）利用单调性结合零点定理，先利用零点定理大体确定区间，再结合单调性进一步缩小根所在区间，确定整数k的值．

解答： 解：（1）f′（x）=a^xln a+2x-lna=2x+（a^x-1）lna．
∵a＞1，∴当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a^x-1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）∵f（x）=e^x+x²-x-4，∴f′（x）=e^x+2x-1，
∴f′（0）=0，
当x＞0时，e^x＞1，∴f′（x）＞0，
∴f（x）是（0，+∞）上的增函数；
同理，f（x）是（-∞，0）上的减函数．
又f（0）=-3＜0，f（1）=e-4＜0，f（2）=e²-2＞0，
当x＞2时，f（x）＞0，
∴当x＞0时，函数f（x）的零点在（1，2）内，
∴k=1满足条件；
f（0）=-3＜0，f（-1）=

1

e

-2＜0，
f（-2）=

1

e2

+2＞0，
当x＜-2时，f（x）＞0，
∴当x＜0时，函数f（x）的零点在（-2，-1）内，
∴k=-2满足条件．
综上所述，k=1或-2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、以及零点定理的应用，属于基础题，难度不大．