Question

已知数列{a_n}满足a₁=a＞0，前n项和为S_n，S_n=

a

1+a

（1+a_n）．
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）记b_n=a_n1n|a_n|（n∈N^*），当a=

15

5

时是否存在正整数n，都有b_n≤bm？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知推导出an•

1+a

a

=an-an-1，an=-a•an-1(n≥2)，由此能证明{a_n}是等比数列．
（2）由an=(-1)n-1an，bn=(-1)n-1nanlna，得若存在满足条件的正整数m，则m为偶数，b2k+2-b2k=-(2k+2)(a2-

2k

2k+2

)a2klna．(k∈N*)，由此能求出存在m=4，满足题意．

解答： （1）证明：∵Sn=

a

1+a

(1+an)，
∴S_n-1=

a

1+a

（1+a_n-1）．
两式相减得an•

1+a

a

=an-an-1，an=-a•an-1(n≥2)，
故{a_n}是等比数列．
（2）解：an=(-1)n-1an，bn=(-1)n-1nanlna，
∵lna＜0，∴b2k＞0，b2k+1＜0(k∈N*)，
若存在满足条件的正整数m，则m为偶数，
b2k+2-b2k=-(2k+2)(a2-

2k

2k+2

)a2klna．(k∈N*)，
当

2k

2k+2

＞

3

5

，即k＞

3

2

时，b_2k+2＜b_2k，
又b₄＞b₂，k≥2时b₄＞b₆＞b₈＞…
∴存在m=4，满足题意．

点评：本题考查等比数列的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意迭代法的合理运用，是中档题．